İstatistikte araştırmaya konu olan birimlerin yaş, medeni durum, göz rengi gibi sahip olduğu özelliklere “vasıf” (değişken) denir. Gözlem değerlerini türlerine göre kategorilere ayırmaya dayanan en basit ölçüm düzeyine “sınıflayıcı (nominal) ölçüm düzeyi” adı verilir. Verilerin toplanmasından sonra aynı şıkların (değerlerin) bir araya getirilerek özetlenmesi yöntemine “tasnif” (sınıflama) denir. Verileri düzenlerken “gruplama” yöntemi (verileri sınıf aralıklarına bölmek), orijinal veri değerlerinin kaybolmasına ve “veride kayıplara yol açabilir”. Aynı koşullar sağlanarak tekrar edildiğinde aynı sonuçları veren (fizik ve kimya deneyleri gibi) olaylara ise “tipik olay” denmektedir. Mekânsal bir dağılımı ifade eden seriler (örneğin “2024 yılında Türkiye’nin illere göre nüfusu”) “mekân serisi” olarak adlandırılır. Hatalar konusunda ise, veri toplama işlemi sırasında yapılan ve ölçümü hep aynı yönde etkileyen hata türüne “sistematik hata” denir.
Ortalamalar ve Değişkenlik Ölçüleri
Verilerin merkezsel eğilimini ölçen ortalamalar “analitik (duyarlı)” ve “analitik olmayan (duyarlı olmayan)” olarak ikiye ayrılır. Aritmetik, kareli ve geometrik ortalamalar (serideki tüm değerleri hesaba kattığı için) analitik ortalamalar içinde yer alırken; “Medyan (Ortanca)” ve “Mod” serideki uç değerlerden etkilenmedikleri için analitik olmayan (duyarlı olmayan) ortalamalardır. Geometrik ortalama hesaplayabilmek için verinin matematiksel işlemlere uygun olan “aralık veya oran” ölçüm düzeyinde ölçülmüş olması zorunludur. Dağılımın değişkenliğini ölçen “Değişim Katsayısı”, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünüp 100 ile çarpılmasıyla ($ \frac{S}{\bar{X}} \times 100 $) bulunur. Örneğin aritmetik ortalaması 28, standart sapması 12 olan bir serinin değişim katsayısı $\frac{12}{28} \times 100 = \yüzde 42,86$’dır. Varyans hesabı için ise genel formül $ \sigma^2 = \frac{\sum X^2}{N} – (\frac{\sum X}{N})^2 $ şeklindedir (Örn: $ \frac{150}{10} – (\frac{30}{10})^2 = 15 – 9 = 6 $). Mod ise frekansı (tekrar sayısı) en yüksek olan değer veya sınıftır.
Olasılık, İndeksler ve Grafikler
Zaman serilerinde belirli bir dönemin sabit (temel) kabul edilerek diğer dönem değerlerinin o baz dönemine oranlanmasıyla elde edilen göstergeye “sabit esaslı indeks” denir. Değişik esaslı indekslerde ise her yıl bir önceki yıla göre oranlanır; örneğin 2022’de 210 olan indeks 2023’te 180 olmuşsa, bu durum yüzde 100’ün üzerindeki değişimi ifade ederek 2022’ye göre ” yüzde 80 artmıştır” (180 – 100 = 80) şeklinde yorumlanır. Olasılık teorisinde, bir tesadüfi deney neticesinde ortaya çıkabilecek bütün mümkün sonuçlara sayısal bir değer verilmesi işlemine “tesadüfi değişken” tanımlamak denir. Permütasyon hesabına göre “6 kişi 6 koltuğa”, $6!$ (6 faktöriyel) yani $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ değişik şekilde oturabilir. Sürekli olasılık dağılımlarından Normal Dağılım hesabında Z değeri $ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} $ ile bulunur; ortalaması 50, sapması 2 olan seride 48’in altındaki değerler Z = -1 bölgesine denk gelir ve bu tablo değerine göre (yaklaşık yüzde 15,87) 1000 üründen “158,7” tanesinin kalitesiz (48 kg’ın altında) olması beklenir. Son olarak, bir bütünün parçalarını (örneğin yüzde 60 iç hastalıkları, yüzde 30 cilt, yüzde 10 göz) göstermek için kullanılan, farklı kategorilerin tek bir çubuk veya alan üzerinde üst üste bindirildiği (100’e tamamlandığı) grafik türüne “Bindirmeli grafik” denir.
25 soru
Şıkka dokun, anında açıklamasını gör — ya da çalışma modunda tüm cevapları aç.
Soru 1
Geometrik ortalama hesaplayabilmek için verinin ….. ölçüm düzeyinde ölçülmüş olması gerekir.
Yukarıdaki cümlede boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?
ADoğru cevap
Açıklama
Geometrik ortalama, verilerin birbirleriyle çarpılarak n. dereceden kökünün alındığı matematiksel bir hesaplama türüdür. Bu nedenle, gözlem değerlerinin sayısal bir büyüklük ifade etmesi ve aralarında dört işlem yapılabilmesi şarttır. Sınıflayıcı (nominal) veya sıralayıcı (ordinal) ölçekler sadece etiketleme ve sıralama yapar, matematiksel işlem yapılamaz. Geometrik ortalama ancak nicel verileri ölçen “Aralık (İnterval) veya Oran (Rasyo)” ölçüm düzeylerindeki serilerde hesaplanabilir.
Soru 2
Çimento üreten bir firmanın ürettiği çimento torbalarının ağırlıkları normal dağıtılmakta olup ortalama torba ağırlığı 50 kg ve standart sapma 2 kg olarak hesaplanmıştır. Torba ağırlığının 48 kg’dan az olması hâlinde çimento paketi ağırlık açısından kalitesiz olarak ayrılmaktadır.
Gün içinde 1000 paket çimento üretildiğinde kaç paket çimentonun kalitesiz olduğu söylenebilir?
ADoğru cevap
Soru 3
Aşağıdaki ortalamalardan hangisi analitik (duyarlı) ortalamalar içinde yer alır?
BDoğru cevap
Açıklama
İstatistikte ortalamalar duyarlı (analitik) ve duyarlı olmayan olarak ikiye ayrılır. Serideki *her bir gözlem değerini* hesaba katan ve uç değerlerden etkilenen ortalamalara analitik ortalama denir (Aritmetik, Geometrik ve Kareli ortalamalar). “Medyan” (Ortanca) ve “Mod” (Tepe değer) ise analitik olmayan ortalamalardır. Varyans ve standart sapma ise ortalama değil, değişkenlik (dağılım) ölçüleridir. Bu yüzden cevap Geometrik Ortalamadır.
Soru 4
Bir araştırma kapsamında görüşülen 25 kişinin yaş dağılımına ilişkin aşağıdaki istatistikler hesaplanmıştır:
Aritmetik ortalama = 28
Kareli ortalama = 30
Standart sapma = 12
Buna göre dağılımın değişim katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplarınızda virgülden sonra iki haneyi dikkate alınız.)
DDoğru cevap
Açıklama
Çözüm: Değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranının yüzde olarak ifade edilmesiyle bulunur.
Değişim katsayısı = (Standart sapma / Aritmetik ortalama) × 100
Değişim katsayısı = (12 / 28) × 100
Değişim katsayısı = 42,86
Sonuç yüzde olarak yüzde 42,86 bulunur.
Soru 5
Bir hastanenin yatan hasta kısmındaki kişilerin bölümlere göre dağılımı yukarıdaki grafikte yer almaktadır.
Bu hastaların yüzde 60’ının iç hastalıkları, yüzde 10’unun göz hastalıkları ve yüzde 30’unun cilt hastalıkları bölümünde yattığı görülmektedir. Bu bilginin sunulduğu grafik türü aşağıdakilerden hangisidir?
BDoğru cevap
Açıklama
Bir bütünün (yüzde 100’ün) parçalarını oluşturan farklı kategorik oranların (örneğin yüzde 60, yüzde 30 ve yüzde 10’un), tek bir alan, çubuk veya sütun üzerinde üst üste (veya yan yana bölmeler halinde) “bindirilerek” gösterildiği grafik türüne “Bindirmeli Grafik (Yığılmalı/Stacked Bar Chart)” adı verilir. Bu grafik türü alt bileşenlerin toplam içindeki ağırlıklarını görselleştirmek için kullanılır.
Soru 6
∑ X𝑖 = 30
𝑛 = 10
∑ X𝑖² = 150
Yukarıda bir dağılıma ilişkin bazı hesaplamalar verilmiştir.
Buna göre dağılımın varyansı aşağıdakilerden hangisidir?
Zaman serisindeki belirli bir dönemin sabit kabul edilerek serinin değerlerinin sabit dönem (baz) değerine oranlanmasıyla hesaplanan indekse ….. denmektedir.
Yukarıdaki cümlede boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisidir?
ADoğru cevap
Açıklama
İndeks (Endeks) sayılar, zaman içindeki değişimleri ölçmek için kullanılır. Eğer bir zaman serisinde analiz yapılırken bir yıl (örneğin 2020 yılı = 100) temel (baz) yıl olarak “sabitleniyor” ve sonraki tüm yılların verileri sadece o temel yıla bölünerek oranlanıyorsa, bu hesaplama yöntemine “Sabit Esaslı İndeks” denir. (Her yılın bir önceki yıla bölündüğü türe ise Değişik Esaslı indeks denir).
Soru 8
I. Tasnif
II. Gruplama
III. Basit seri
Yukarıda verilen veri düzenleme yöntemlerinden hangisi ya da hangileri veride kayıplara yol açabilir?
DDoğru cevap
Açıklama
“Basit seri” ham verinin kendisidir, kayıp olmaz. “Tasnif (Sınıflama)” verilerin aynı olanlarını alt alta yazıp karşısına sayısını (frekansını) yazmaktır, burada da orijinal veri değeri görünür (örn: 25 alan 4 kişi var). Ancak “Gruplama” yönteminde, veriler bir sınıf aralığına sıkıştırılır (Örn: 20-30 puan arası alan 15 kişi var). Bu 15 kişinin tam olarak kaç puan aldığı (21 mi, 29 mu?) artık bilinmez, hepsi sınıf orta değeriymiş gibi işlem görür. Bu nedenle orijinal bilgi kaybolur ve “veride kayıplara yol açan” tek yöntem “Gruplama”dır.
Soru 9
Aşağıdakilerden hangisi analitik (duyarlı) ortalamalar arasında yer almaz?
DDoğru cevap
Açıklama
Analitik (duyarlı) ortalamalar; hesaplanırken serideki her bir rakamın tek tek matematiksel işleme dâhil edildiği (dolayısıyla çok büyük veya çok küçük aşırı uç değerlerden anında etkilendikleri/duyarlı oldukları) ortalamalardır. Bunlar: Aritmetik, Geometrik, Kareli ve Harmonik ortalamadır. “Medyan (Ortanca)” ise seriyi küçükten büyüğe dizdiğimizde sadece ortada kalan konuma bakar, serinin uçlarında 1 milyon da yazsa etkilenmez. Bu yüzden Medyan analitik (duyarlı) DEĞİLDİR.
Soru 10
Yıllar
Değişik Esaslı Bileşik İndeks
2021
160
2022
210
2023
180
Yukarıdaki tabloda 3 yıllık değişik esaslı bileşik indeks değerleri verilmiştir.
Buna göre 2023 yılı indeks değerinin doğru yorumu aşağıdakilerden hangisidir?
ADoğru cevap
Açıklama
Sorudaki seri “Değişik Esaslı İndeks” (zincirleme indeks) serisidir. Bu indeks türünde baz (referans) yılı daima bir önceki yıldır ve baz = 100 kabul edilir. 2023 yılı değeri 180 olarak verilmiştir. Değişik esaslı olduğu için bu değer kendisinden bir önceki yılı (2022’yi = 100) referans alır. Buna göre değişim oranı formülü: İndeks Değeri – 100’dür. 180 – 100 = 80 çıkar. Sonuç pozitif olduğu için “2023 yılında, 2022 yılına göre (fiyatta veya miktarda) yüzde 80 artış yaşanmıştır” şeklinde yorumlanır.
Soru 11
Bir araştırmada veri toplama işlemi sırasında yapılan ve hep aynı yönde sapmalara (hatalara) sebep olan hata türüne ne ad verilir?
EDoğru cevap
Açıklama
İstatistikte hatalar tesadüfi ve sistematik olarak ikiye ayrılır. Tesadüfi hatalar (örneğin dikkat dağınıklığı) bazen pozitif bazen negatif yönde rastgele olur ve birbirini götürebilir. Ancak “Sistematik Hata”, ölçüm aracının bozuk olması (örneğin tartının her şeyi 2 kg fazla tartması) veya anketörün yönlendirmesi gibi sebeplerle ortaya çıkar ve verilerde her zaman “hep aynı yönde (sürekli fazla veya sürekli eksik)” bir sapmaya neden olur.
Soru 12
Bir öğrenci bir dönem boyunca girdiği matematik sınavlarından 71, 76 ve 78 puan almıştır.
Öğrencinin matematik dersinden aldığı sınav notlarının aritmetik ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?
EDoğru cevap
Açıklama
Aritmetik ortalama, tüm değerlerin toplamının değer sayısına bölünmesiyle bulunur.
Aritmetik ortalama = (71 + 76 + 78) / 3
Aritmetik ortalama = 225 / 3
Aritmetik ortalama = 75
Soru 13
Bir toplantı odasında bulunan 6 kişi, 6 koltuğa kaç değişik şekilde oturtulabilir?
CDoğru cevap
Açıklama
6 kişi, 6 farklı koltuğa oturacağı için permütasyon kullanılır.
6 kişinin 6 koltuğa oturma şekli:
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
6! = 720
Bu nedenle 6 kişi, 6 koltuğa 720 farklı şekilde oturabilir.
Soru 14
“Bir tesadüfi deney neticesinde ortaya çıkabilecek bütün mümkün sonuçlara sayısal bir değer verilmek suretiyle bir ….. tanımlanmış olur.”
Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?
BDoğru cevap
Açıklama
Olasılık teorisinde “Tesadüfi Değişken” (Rastgele Değişken), bir deneyin (örneğin iki zar atma) her bir mümkün sonucunu reel (gerçek) sayılarla ifade eden matematiksel bir fonksiyondur. Örneğin, “iki madeni para atıldığında üste gelen Tura sayısı” dendiğinde, sonuçlar olan Tura-Tura, Yazı-Tura gibi durumlara sayısal olarak (0, 1, 2) değerleri atanır ve böylece bir “tesadüfi değişken” tanımlanmış olur.
Soru 15
2024 yılında Türkiye’nin illere göre nüfusunu gösteren serinin türü aşağıdakilerden hangisidir?
BDoğru cevap
Açıklama
İstatistiksel seriler, verinin hangi özelliğine (zaman, mekân, durum) göre sıralandığına bağlı olarak adlandırılırlar. Zaman sabittir (2024 yılı) ancak değişken olan unsur coğrafi birimlerdir (“illere göre”). Bir olayın belirli bir zamanda farklı coğrafi, idari veya mekânsal bölgelere (il, ülke, mahalle) göre aldığı değerleri gösteren serilere “Mekân (Coğrafi) Serisi” denir.
Soru 16
Gözlem değerlerini türlerine göre kategorilere ayırmaya dayanan ölçüm düzeyine …….. denir.
Yukarıdaki cümlede boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?
DDoğru cevap
Açıklama
Ölçek (ölçüm) türlerinin en basit ve en düşük düzeylisidir. Bir niteliği veya özelliği matematiksel bir üstünlük ya da sıra gözetmeksizin, sadece birbirinden ayırt etmek ve isimlendirmek (kategorilere ayırmak) amacıyla kullanılan düzeye “Sınıflayıcı (Nominal) Ölçüm Düzeyi” denir (Örn: Cinsiyet [kadın/erkek], Medeni durum [evli/bekar], Göz rengi).
Soru 17
Bir araştırma kapsamında toplanan verilerin, aynı şıkların bir araya getirilmesi yoluyla düzenlenmesi yöntemine ……. denir.
Yukarıdaki cümlede boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?
CDoğru cevap
Açıklama
İstatistiksel analiz sürecinde sahada toplanan ham veriler (basit seri) karmaşıktır. Bu ham verileri anlamlı hale getirmek için, aynı olan şıkları (tekrar eden değerleri) sayarak bir araya toplama ve bu şıkların karşısına gözlem sayılarını (frekanslarını) yazma işlemine İstatistikte “Tasnif (Sınıflama)” adı verilir. (Böylece Frekans Serisi oluşturulur).
Soru 18
Sınıflar
ni
0-10
4
10-20
8
20-30
15
30-40
11
40-50
5
Yukarıda verilen sınıflanmış seride mod sınıfı aşağıdakilerden hangisidir?
EDoğru cevap
Açıklama
Mod, bir istatistiksel seride en çok tekrar eden (frekansı en yüksek olan) değerdir. Gruplandırılmış (sınıflara ayrılmış) bir seride ise, frekansı (n_i) en büyük olan sınıf “Mod Sınıfı” olarak adlandırılır. Tabloya bakıldığında frekans (n_i) değerleri sırasıyla 4, 8, 15, 11 ve 5’tir. En büyük frekans 15’tir ve bu frekansa karşılık gelen sınıf aralığı “20-30” sınıfıdır.
Soru 19
Bir araştırmaya konu olan birimlerin yaş, medeni durum, göz rengi vb. sahip olduğu özelliklere ….. denir.
Yukarıdaki cümlede boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?
CDoğru cevap
Açıklama
İstatistikte gözlem yapılan ana kütle veya örneklem içindeki her bir elemana “Birim” denir. Bu birimlerin birbirlerinden ayırt edilmesini sağlayan, ölçülebilen veya kategorize edilebilen karakterlerine, niteliklerine (yaş, boy, kilo, meslek, göz rengi gibi) “Vasıf (Değişken)” adı verilir. Vasıfların aldığı sayısal veya sözel sonuçlara ise şık/değer denir.
Soru 20
Aynı koşullar sağlanarak tekrar edildiğinde, aynı sonuçları veren olaylara ….. denir.
Yukarıdaki cümlede boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?
CDoğru cevap
Açıklama
İstatistik biliminde olaylar ikiye ayrılır. Nedenleri aynı olduğunda her zaman kesin olarak aynı sonuçları doğuran, kuralları kesin olaylara (örneğin suyun 100 derecede kaynaması veya yerçekimi kanunu gibi doğa/fen bilimleri olaylarına) “Tipik Olay” denir. İstatistiğin asıl ilgilendiği, aynı koşullarda farklı sonuçlar verebilen (ekonomik kriz, insan davranışı, hastalık gibi) sosyal ve kitlevi olaylara ise “Kolektif (Yığınsal) Olay” denir. Soru tanımı Tipik Olay’ı tarif etmektedir.
Soru 21
İstatistiksel analizlerde, ana kütleyi (popülasyonu) oluşturan tüm birimlere tek tek ulaşılarak veri toplanması işlemine genel olarak ne ad verilir?
BDoğru cevap
Açıklama
Zaman, maliyet veya emek kısıtlaması olmadığında veya konu çok hayati olduğunda, araştırma kapsamına giren yığının (ana kütlenin) içerisindeki her bir birimin hiçbir istisna bırakılmadan incelenmesi ve verilerinin kaydedilmesi sürecine “Tam Sayım” veya “Rölöve” denir (Örn: Nüfus sayımları veya tarım sayımları).
Soru 22
5, 8, 12, 12, 12, 15, 20, 20, 25 rakamlarından oluşan basit bir istatistiksel serinin Mod (Tepe değeri) aşağıdakilerden hangisidir?
BDoğru cevap
Açıklama
Mod (Tepe değer), bir veri setinde en çok tekrar eden (frekansı en yüksek olan) değerdir. Verilen seriye (5, 8, 12, 12, 12, 15, 20, 20, 25) bakıldığında, “12” değeri 3 defa tekrar ederek serideki en yüksek tekrar sayısına ulaşmıştır. (20 değeri 2 kez tekrar etmiştir). Dolayısıyla bu serinin Mod’u 12’dir.
Soru 23
Bir zarın havaya atılması deneyinde, zarın üst yüzüne gelen sayının 4’ten büyük (yani 5 veya 6) gelme olasılığı kaçtır?
BDoğru cevap
Açıklama
Klasik olasılık hesabı: (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Durumların Sayısı) formülüyle bulunur. Bir zarda tüm durumlar (Örnek Uzay) 6 adettir (1,2,3,4,5,6). İstenen durum ise sayının 4’ten büyük olması, yani {5, 6} gelmesidir. İstenen durum sayısı 2’dir. Olasılık = 2/6 olur, bu da sadeleştirildiğinde 1/3 sonucunu verir.
Soru 24
Aşağıdaki ölçüm düzeylerinden hangisi, matematiksel bir “Mutlak Sıfır (Yokluk)” noktasına sahip olan, en gelişmiş ve üzerinde her türlü matematiksel işlemin yapılabildiği ölçüm düzeyidir?
DDoğru cevap
Açıklama
Ölçüm düzeyleri dörde ayrılır. Oran (Rasyo) ölçüm düzeyi, aralık ölçeğinin tüm özelliklerine sahip olmakla birlikte, ilaveten gerçek bir “Mutlak Sıfır” noktası (yani sıfırın, o özelliğin hiç olmadığını gösterdiği) içeren ölçüm düzeyidir (Örn: Ağırlık, uzunluk, gelir, yaş). 0 kg ağırlık, ağırlığın hiç olmadığını ifade eder ve bu sayede veriler arasında “A kişisi B kişisinin iki katı ağırdır” gibi oranlamalar yapılabilir.
Soru 25
Bir veri setinde, gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının karelerinin toplamının, gözlem sayısına (veya n-1’e) bölünmesiyle elde edilen ve serinin “yayılımını (değişkenliğini)” gösteren istatistiksel ölçüye ne ad verilir?
EDoğru cevap
Açıklama
Varyans ($S^2$ veya $\sigma^2$), verilerin merkeze (ortalamaya) göre ne kadar dağınık olduğunu gösteren temel bir değişkenlik ölçüsüdür. Tanımında olduğu gibi, değerlerin ortalamadan farklarının “karelerinin” ortalaması alınarak hesaplanır. Standart sapma ise, bu varyans değerinin karekökü alınarak (orijinal veri birimine dönülmesiyle) elde edilir.
