Karar Teorisi ve Analizi 2025-2026 Final

“Ödev yapmak” stratejisinin, “Maç İzle” stratejisine karşı ‘güçlü baskın’ (strictly dominant) olabilmesi için her durumda daha yüksek fayda sağlaması gerekir. Yani Takım kazandığında 8 > X olmalı, Takım kaybettiğinde ise Y > 2 olmalıdır. Seçeneklere bakıldığında bu iki eşitsizliği aynı anda sağlayan tek seçenek D şıkkıdır (8 > 5 ve 4 > 2).

“Çok olan daha iyidir” (More is better) varsayımı, değişken (p) arttıkça faydanın da artmasını gerektirir. Bu durum fonksiyonun türevinin pozitif olması demektir. p³, p, p² ve p-8 fonksiyonları p arttıkça artan (artan ivmeli) fonksiyonlardır. Ancak 1/p fonksiyonu p büyüdükçe küçülür (azalan bir fonksiyondur). Bu nedenle “çok olan daha iyidir” prensibine uymaz.

St. Petersburg paradoksu, yazı-tura atışlarına dayalı bir kumar oyunudur. Turaya kadar oyun devam eder ve kazanılacak ödül her adımda ikiye katlanır. Matematiksel olarak oyunun beklenen değeri hesaplandığında, serinin toplamı sonsuzluğa (1 + 1 + 1 + …) gider. Ancak gerçek hayatta kimse bu oyuna sonsuz para ödemez; bu durum “beklenen değer” teorisinin sınırlarını ve riskten kaçınma kavramını doğurmuştur.

Oyun teorisinde tarafların birbirlerinin stratejilerini göz önünde bulundurarak, hiçbirinin stratejisini tek taraflı olarak değiştirmekten fayda sağlayamayacağı denge noktasına “Nash Dengesi” (Nash Equilibrium) adı verilir. Bu kavram Nobel ödüllü ünlü matematikçi John Forbes Nash tarafından literatüre kazandırılmıştır.

Konkavlığın yukarı yönlü (konveks) olabilmesi için fonksiyonun ikinci türevinin sıfırdan büyük (pozitif) olması şarttır. A şıkkındaki F(X) = 4X² fonksiyonunun birinci türevi 8X, ikinci türevi ise 8’dir. 8 > 0 olduğundan bu fonksiyon konkav yukarı yönlüdür. Diğer doğrusal ve sabit fonksiyonların ikinci türevleri sıfırdır.

“Esneklik” kelimesi yazılım, analiz ve karar destek sistemlerinde değişen koşullara uyum sağlama kapasitesini ifade eder. Bir sistemin esnek olması, çevresel şartlar, krizler veya şirket stratejileri değiştiğinde sistemin çökmemesi, kolayca güncellenmesi ve yeni duruma “modifiye edilebilmesi” anlamına gelir.

Konkav aşağıdan yukarıya değiştiği noktaya büküm noktası denilmektedir. Bir grafikteki büküm noktası, X arttıkça konkavlığın değişeceği anlamına gelmektedir.

(F,H)’nin güçlü baskın denge olması için Satır oyuncusunda F stratejisi, Sütun oyuncusunda ise H stratejisi daima diğer seçeneklerden büyük sonuç vermelidir. F’nin G ve H’ye baskın olması için X’in ilk değeri 4’ten büyük olmalıdır. H’nin I ve J’ye baskın olması için X’in ikinci değeri 4’ten büyük olmalı; ayrıca H’nin J karşısındaki kazancı Y’nin ikinci değerinden büyük (Y’nin bileşenleri düşük) olmalıdır. A seçeneğindeki X=(6,5) ve Y=(1,1) değerleri yerleştirildiğinde bu güçlü baskınlık matematiksel olarak tamamen sağlanır.

Ayşe’nin hamlelerine (satırlar) bakıldığında, C satırının getirileri (6, 4, 4), sırasıyla A satırından (5, 3, 2) ve B satırından (5, 3, 3) her koşulda daha yüksektir; bu yüzden Ayşe için C satırı güçlü baskındır. Ali’nin hamlelerine (sütunlar) bakıldığında, A sütununun getirileri (2, 5, 4), sırasıyla B sütunundan (1, 2, 1) ve C sütunundan (0, 3, 3) her koşulda daha yüksektir; bu yüzden Ali için A sütunu güçlü baskındır. Sırasıyla C ve A’dır.

Oyun teorisinde ve karar analizinde, bir strateji veya tercih karşı tarafın ne yaptığına bakılmaksızın “istisnasız olarak” her zaman rakip stratejiden daha yüksek bir getiri sağlıyorsa, bu stratejiye diğerine göre “Güçlü Baskın” (Strictly Dominant) adı verilir.

İnsanın “karar” verebilmesi için önünde birbirinin yerine geçebilecek birden fazla seçeneğin olması şarttır. Tek bir seçeneğin olduğu durumda mecburiyet vardır, tercih yoktur. Bu nedenle seçim yapma eylemine “karar” denir ve bunun için en az “2” alternatifin bulunması gerekir.

Makine öğrenmesinde verilerin önceden etiketlendiği (örneğin bu resim kardır, bu resim kedidir şeklinde sisteme doğru cevapların verildiği) öğrenme metoduna “Denetimli Öğrenme” (Supervised Learning) denir. Model bu doğru cevaplardan (öğretilenlerden) kurallar çıkarır ve yeni gelen, etiketsiz verileri başarıyla tahmin eder.

Risk algısı ve riske duyarlılık analizlerinde en büyük akademik tartışma, riskin durum bazlı (ortama özgü) bir tepki mi yoksa bireyin doğuştan sahip olduğu içsel bir özellik (kişilik/karakter) mi olduğudur. Cümlenin zıtlığından da (ortam/durumsal faktör vs. içsel faktör) anlaşılacağı üzere boşluğa “karakterle” ifadesi gelmelidir.

Karar alma süreçleri mantıksal bir kronoloji izler. Önce ortadaki sorun saptanır (I). Sorunu analiz etmek için bir model inşa edilir (II). Bu model üzerinden muhtemel alternatifler (çözümler) ortaya konur (III). En sonunda ise bu çözümler birbirleriyle karşılaştırılarak en optimal olanı seçilir ve karar verilir (IV). Maddeler zaten doğal akış sırasına göre dizilmiştir.

Hilesiz standart bir zarın 6 farklı yüzü (1, 2, 3, 4, 5, 6) vardır. İstenen durumlar zarda 2, 3 veya 5 sayılarının gelmesidir ki bu da toplamda 3 farklı olasılıktır (asal sayıların gelmesi). Olasılık formülü: İstenen Durum / Tüm Durumlar şeklindedir. Yani 3/6 olur. Bu kesri sadeleştirdiğimizde sonuç 1/2 (yüzde 50) ihtimal olarak karşımıza çıkar.

Karar ortamları, bilgi düzeyine göre sınıflandırılır. Eğer bir yatırımın veya kararın sonucunda ne olacağını, doğanın veya rakiplerin hangi durumu yüzde 100 ihtimalle gerçekleştireceğini önceden net bir şekilde biliyorsak, bu ortama “Kesinlik Altında Karar Verme” (Decision Making Under Certainty) denir.

Oyun teorisindeki klasik “Mahkumlar Açmazı” (Prisoner’s Dilemma) durumunda, her iki oyuncu “İşbirliği” yaptığında sistemin toplamı için en optimal/iyi sonuca ulaşılır (ikisi de kısa ceza alır). Ancak karşı tarafa güvenmedikleri için bencilce davranarak itirafçı olurlar ve bunun sonucunda en optimal sonuçtan mahrum kalıp daha “kötüye” (her ikisinin de ağır hapis cezası almasına) razı olurlar.

Havanın durumu ile maçın kazanılması birbirinden “Bağımsız Olaylar”dır. Güneşli olma ihtimali yüzde 80 ise, “güneşsiz olma” (tamamlayıcısı) ihtimali yüzde 20’dir (0,20). Maçı kazanma olasılığı ise yüzde 70’tir (0,70). İki bağımsız olayın aynı anda (ve) gerçekleşme ihtimali olasılıklarının çarpılmasıyla bulunur: 0,20 * 0,70 = 0,14. Bu da yüzde 14’e eşittir.