Yukarıda verilen Venn şemasına göre A kümesinin eleman sayısı 16 dır. Bu şemaya göre (A∩B) U (B∩C) kümesinin eleman sayısı kaç olur?
EDoğru cevap
Ara Sınav (Vize)
2023-2024
20 soru
Matematik-1 2023-2024 Ara Sınav (Vize)
Kaynak: https://lolonolo.com/2025/10/29/temel-matematik-2023-2024-vize-sorulari/
📖 Konu özeti (sınav öncesi tekrar)
Temel Matematik 2023-2024 Vize Soruları
Kümeler ve Sayı Sistemleri
Kümeler, nesnelerin iyi tanımlanmış bir topluluğudur. Özellik belirterek (örn: A = {x | 2 ≤ x < 5, x ∈ N} ) veya liste yöntemiyle (A = {2, 3, 4} ) gösterilebilirler. Venn şemaları , kümeler arasındaki kesişim (∩ – ortak elemanlar) ve birleşim (U – tüm elemanlar) işlemlerini görselleştirmek için kullanılır. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı (kuvvet kümesi) 2n formülüyle bulunur. Örneğin, 5 elemanlı bir kümenin 25 = 32 alt kümesi vardır.
Reel sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluşur. Rasyonel sayılar a/b şeklinde yazılabilir (örn: 2, 9/4). İrrasyonel sayılar devirli olmayan ondalık açılımlardır (örn: π , e , √3 ). √4 = 2 olduğu için rasyoneldir, irrasyonel değildir. Köklü ifadelerde (√50 – √18) / √8 gibi işlemlerde, kök içleri çarpanlarına (örn: √50 = 5√2) ayrılarak sadeleştirme yapılır .
Denklemler ve Eşitsizlikler
İkinci dereceden denklemler (ax² + bx + c = 0) çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülebilir. Örneğin, x² - 13x + 36 = 0 denklemi, (x-4)(x-9) = 0 olarak ayrılır ve kökler {4, 9} bulunur. 6x² - 6x - 12 = 0 denklemi 6(x-2)(x+1) = 0 olarak ayrılır ve kökler {-1, 2} bulunur. Bir denklemin x eksenini kaç noktada kestiğini (reel kök sayısını) bulmak için diskriminant (Δ = b² – 4ac) kullanılır. Eğer Δ < 0 ise (örn: 2x² - 3x + 3 için Δ = -15), denklemin reel kökü yoktur ve x eksenini kesmez (0 noktada keser) .
Köklü denklemlerde (örn: √x+1 = x+1 ) her iki tarafın karesi alınarak çözüm yapılır, ancak bulunan köklerin (örn: x=0, x=-1 ) orijinal denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
Eşitsizlik sistemleri (örn: x ≥ 2 ve y ≤ 2 ) koordinat düzleminde belirli bölgeleri tanımlar.
Fonksiyonlar ve Grafikler
Bir grafiğin fonksiyon olup olmadığını anlamak için “Dikey Çizgi Testi” kullanılır; dikey bir çizgi grafiği birden fazla noktada kesiyorsa (örn: Çember veya S-eğrisi ), o grafik bir fonksiyon değildir. Parabol (Grafik I) ve Doğru (Grafik IV) bu testi geçer ve fonksiyondur. Bir fonksiyonun tersinin (f⁻¹) olabilmesi için o fonksiyonun hem birebir hem de örten olması gerekir.
Doğrusal Fonksiyonlar (y = mx + b): Eğim (m) ve y-keseni (b) ile tanımlanır. Bir grafikten (örn: (0,-4) ve (2,0) ) eğim (m=2) bulunabilir. Fonksiyonun tersini bulmak için (örn: g(x) = x + 2 ) denklemde x yalnız bırakılır (x = y – 2) ve değişkenler değiştirilir (g⁻¹(x) = x - 2 ).
Paraboller (y = ax² + bx + c): Grafiğin x eksenine göre simetriği y = -f(x)‘tir.
Üstel Fonksiyonlar (y = ax): y = 5x fonksiyonu, x=0 için 1, x=1 için 5, x=-1 için 1/5 değerini alır. y = 2-x ise azalan bir fonksiyondur.
Bileşke Fonksiyonlar (fog): fog(1) , f(g(1)) demektir; önce g(1) hesaplanır, sonuç f fonksiyonuna uygulanır.
Parçalı Fonksiyonlar: f(x) = (x² - 1) / (x - 1) gibi fonksiyonlar (x=1 dışında) f(x) = x + 1 olarak sadeleşir.
Limit, Türev ve İntegral (Kalkülüs)
Limit: Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Grafikte (Soru 13) x=1’de sol limit 0, sağ limit 1’dir, bu yüzden limit yoktur. x=2’de sol limit 2, sağ limit 2’dir, limit vardır (değeri 2’dir).
Türev: Bir fonksiyonun (f(x)) tepe (ekstremum) noktaları, türevinin (f'(x)) sıfır olduğu (x-eksenini kestiği) yerlerdir .
İntegral (Türevin Tersi): (1/x)’in integrali ln(x)‘tir . (2x)’in türevi 2x * ln(2) olduğundan , ∫ 2x * ln(2) dx işleminin sonucu 2x + c olur.
Belirli İntegral (Alan): İntegral , grafiğin x-ekseni ile arasında kalan alanı verir. Soru 4’teki grafiğin x=2’den x=4’e kadar altında kalan alan, iki yamuğun toplamıdır: 1.5 + 1.5 = 3 .
Ekonomik Uygulamalar
Maliyet Fonksiyonları: TC(q) = (Değişken Maliyet * q) + Sabit Maliyet . Grafikten sabit maliyet (q=0 iken TC) ve değişken maliyet (eğim) bulunabilir.
Kâr Analizi (Başa Baş): Kâr = Toplam Gelir – Toplam Maliyet. Kâr edebilmek için en az (Başa Baş Noktası + 1) adet satılmalıdır. Başa Baş Noktası = Sabit Maliyet / (Birim Satış Fiyatı – Birim Değişken Maliyet) .
Temel Matematik 2023-2024 Vize Soruları
Yukarıda verilen Venn şemasına göre A kümesinin eleman sayısı 16 dır. Bu şemaya göre (A∩B) U (B∩C) kümesinin eleman sayısı kaç olur?
EDoğru cevap
Açıklama
Grafik , (0, 500) (Sabit Maliyet) ve (100, 800) noktalarından geçen doğrusal bir fonksiyondur.
Değişken Maliyet (eğim) = (800 – 500) / (100 – 0) = 300 / 100 = 3 TL/adet.
Toplam Maliyet Fonksiyonu: TC(q) = 3q + 500.
q = 250 için: TC(250) = 3 * (250) + 500 = 750 + 500 = 1250 TL.
Değişken Maliyet (eğim) = (800 – 500) / (100 – 0) = 300 / 100 = 3 TL/adet.
Toplam Maliyet Fonksiyonu: TC(q) = 3q + 500.
q = 250 için: TC(250) = 3 * (250) + 500 = 750 + 500 = 1250 TL.
CDoğru cevap
Birim maliyeti 15 TL olan bir ürüne etiket fiyatı 20 TL yazılmıştır. Bir ay içerisinde oluşan sabit maliyetler toplamı 5000 TL ise, bu ay içerisinde satıcı, kar edebilmesi için en az kaç ürün satmalıdır?
ADoğru cevap
Açıklama
Birim kâr (marj) = Satış Fiyatı – Birim Maliyet = 20 TL – 15 TL = 5 TL.
Başa baş noktası (Kâr = 0) = Sabit Maliyet / Birim Kâr = 5000 TL / 5 TL = 1000 adet.
Kâr edebilmesi için başa baş noktasından fazla satması gerekir. Satılması gereken en az ürün sayısı 1000 + 1 = 1001 adettir.
Başa baş noktası (Kâr = 0) = Sabit Maliyet / Birim Kâr = 5000 TL / 5 TL = 1000 adet.
Kâr edebilmesi için başa baş noktasından fazla satması gerekir. Satılması gereken en az ürün sayısı 1000 + 1 = 1001 adettir.
K = (√50 – √18) / √8
Yukarıda verilen eşitliğe göre K sayısı kaç olur?
Yukarıda verilen eşitliğe göre K sayısı kaç olur?
BDoğru cevap
Açıklama
Köklü ifadeler çarpanlarına ayrılır:
√50 = √(25 * 2) = 5√2
√18 = √(9 * 2) = 3√2
√8 = √(4 * 2) = 2√2
İşlem: (5√2 – 3√2) / 2√2 = (2√2) / 2√2 = 1.
√50 = √(25 * 2) = 5√2
√18 = √(9 * 2) = 3√2
√8 = √(4 * 2) = 2√2
İşlem: (5√2 – 3√2) / 2√2 = (2√2) / 2√2 = 1.
BDoğru cevap
Açıklama
Grafik (0, -4) ve (2, 0) noktalarından geçmektedir.
Orijinal doğrunun eğimi (m) = (Y₂ – Y₁) / (X₂ – X₁) = (0 – (-4)) / (2 – 0) = 4 / 2 = 2.
İstenen doğrunun eğimi de m=2 olmalı ve (0, 4) noktasından (y-keseni) geçmelidir.
Doğru denklemi (y = mx + b): y = 2x + 4 .
Orijinal doğrunun eğimi (m) = (Y₂ – Y₁) / (X₂ – X₁) = (0 – (-4)) / (2 – 0) = 4 / 2 = 2.
İstenen doğrunun eğimi de m=2 olmalı ve (0, 4) noktasından (y-keseni) geçmelidir.
Doğru denklemi (y = mx + b): y = 2x + 4 .
A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesine ait oluşturulan kuvvet kümesinin eleman sayısı kaçtır?
DDoğru cevap
Açıklama
A kümesinin eleman sayısı n = 5’tir . Bir kümenin kuvvet kümesinin (alt kümelerinin sayısı) eleman sayısı 2ⁿ formülü ile bulunur. 2⁵ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 .
6x² – 6x – 12 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
CDoğru cevap
Açıklama
Denklem önce 6 ile sadeleştirilebilir: x² – x – 2 = 0.
Bu denklem çarpanlarına ayrılır: (x – 2)(x + 1) = 0.
Kökler (çözüm kümesi) x = 2 ve x = -1’dir. Çözüm kümesi {-1, 2} .
Bu denklem çarpanlarına ayrılır: (x – 2)(x + 1) = 0.
Kökler (çözüm kümesi) x = 2 ve x = -1’dir. Çözüm kümesi {-1, 2} .
√x+1 = x + 1
Yukarıda verilen denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıda verilen denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
EDoğru cevap
Açıklama
Denklemin her iki tarafının karesi alınır: x + 1 = (x + 1)² => x + 1 = x² + 2x + 1.
Denklem sıfıra eşitlenir: x² + x = 0.
x parantezine alınır: x(x + 1) = 0.
Muhtemel kökler x = 0 ve x = -1’dir. Her ikisi de orijinal denklemi (kök içini negatif yapmaz) sağladığı için ikisi de çözümdür
Denklem sıfıra eşitlenir: x² + x = 0.
x parantezine alınır: x(x + 1) = 0.
Muhtemel kökler x = 0 ve x = -1’dir. Her ikisi de orijinal denklemi (kök içini negatif yapmaz) sağladığı için ikisi de çözümdür
ADoğru cevap
Açıklama
Grafikteki doğru (0, 2) ve (-2, 0) noktalarından geçmektedir.
Eğim (m) = (2 – 0) / (0 – (-2)) = 2 / 2 = 1.
Fonksiyonun denklemi g(x) = 1x + 2 (y-keseni 2).
Tersini bulmak için y = x + 2 denkleminde x yalnız bırakılır: x = y – 2.
x ve y değiştirilir: y = x – 2. Yani g⁻¹(x) = x – 2 .
Eğim (m) = (2 – 0) / (0 – (-2)) = 2 / 2 = 1.
Fonksiyonun denklemi g(x) = 1x + 2 (y-keseni 2).
Tersini bulmak için y = x + 2 denkleminde x yalnız bırakılır: x = y – 2.
x ve y değiştirilir: y = x – 2. Yani g⁻¹(x) = x – 2 .
A, B ve C kümeleri aşağıda verilmiştir. Buna göre A U (B ∩ C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 5, 6} C = {3, 4, 6, 7}
A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 5, 6} C = {3, 4, 6, 7}
BDoğru cevap
Açıklama
Önce B ve C’nin kesişimi (B ∩ C) bulunur (her ikisinde de olan elemanlar): B ∩ C = {4, 6}.
Sonra A kümesi ile bu kesişim kümesinin birleşimi (A U (B ∩ C)) alınır: {1, 2, 3, 4} U {4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} .
Sonra A kümesi ile bu kesişim kümesinin birleşimi (A U (B ∩ C)) alınır: {1, 2, 3, 4} U {4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} .
f(x) = 2x + 5 ve g(x) = 3x – 2 olmak üzere, fog(1) + gof(1) işleminin sonucu kaçtır?
EDoğru cevap
Açıklama
fog(1) = f(g(1)). Önce g(1) = 3(1) – 2 = 1 bulunur. Sonra f(1) = 2(1) + 5 = 7.
gof(1) = g(f(1)). Önce f(1) = 2(1) + 5 = 7 bulunur. Sonra g(7) = 3(7) – 2 = 21 – 2 = 19.
Toplam = 7 + 19 = 26 .
gof(1) = g(f(1)). Önce f(1) = 2(1) + 5 = 7 bulunur. Sonra g(7) = 3(7) – 2 = 21 – 2 = 19.
Toplam = 7 + 19 = 26 .
ADoğru cevap
Açıklama
Grafikteki değerlere bakılır (dolu noktalar fonksiyonun o noktadaki değerini gösterir):
f(-2) = 0 (x eksenini kesiyor).
f(1) = 2 (içi dolu nokta).
f(2) = 1 (içi dolu nokta).
Toplam = 0 + 2 + 1 = 3 .
f(-2) = 0 (x eksenini kesiyor).
f(1) = 2 (içi dolu nokta).
f(2) = 1 (içi dolu nokta).
Toplam = 0 + 2 + 1 = 3 .
f(x) = (x² – 1) / (x – 1) fonksiyonu için f(5/4) = ?
BDoğru cevap
Açıklama
Fonksiyon sadeleştirilebilir (iki kare farkı): f(x) = (x-1)(x+1) / (x-1).
f(x) = x + 1 (x ≠ 1 için).
x = 5/4 değeri yerine konur:
f(5/4) = (5/4) + 1 = 5/4 + 4/4 = 9/4 .
f(x) = x + 1 (x ≠ 1 için).
x = 5/4 değeri yerine konur:
f(5/4) = (5/4) + 1 = 5/4 + 4/4 = 9/4 .
x² – 13x + 36 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
ADoğru cevap
Açıklama
Çarpımları +36, toplamları -13 olan iki sayı aranır: -4 ve -9.
Denklem (x – 4)(x – 9) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır .
Kökler x = 4 ve x = 9’dur. Çözüm kümesi {4, 9} .
Denklem (x – 4)(x – 9) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır .
Kökler x = 4 ve x = 9’dur. Çözüm kümesi {4, 9} .
2 ≤ x
y ≤ 2
Yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm aralığı hangi harf/harfler ile gösterilmiştir?
CDoğru cevap
Açıklama
Cevap anahtarında C olarak belirtilmiştir. PDF’te bu şekilde yer almaktadır. (Not: PDF’teki eşitsizlikler okunaklı değildir ve C bölgesini (x<0, y<0) tanımlamamaktadır.)
Bir öğrenci kırtasiyeden tanesi 10 TL’den beş kalem, 5 TL’den iki silgi ve 20 TL’den bir kalemtıraş almıştır. Satıcı toplam miktara % 25 indirim uygulamış olur ise öğrencinin ödemesi gereken toplam fiyat ne kadar olur?
DDoğru cevap
Açıklama
Toplam tutar hesaplanır:
Kalemler: 5 * 10 TL = 50 TL
Silgiler: 2 * 5 TL = 10 TL
Kalemtıraş: 1 * 20 TL = 20 TL
Toplam = 50 + 10 + 20 = 80 TL.
%25 indirim (yani 1/4 indirim) hesaplanır: 80 TL * 0.25 = 20 TL.
Ödenecek Fiyat = 80 TL – 20 TL = 60 TL .
Kalemler: 5 * 10 TL = 50 TL
Silgiler: 2 * 5 TL = 10 TL
Kalemtıraş: 1 * 20 TL = 20 TL
Toplam = 50 + 10 + 20 = 80 TL.
%25 indirim (yani 1/4 indirim) hesaplanır: 80 TL * 0.25 = 20 TL.
Ödenecek Fiyat = 80 TL – 20 TL = 60 TL .
CDoğru cevap
Açıklama
Olasılık = İstenen Durum / Toplam Durum.
Toplam Durum (U evrensel kümesi) = 90 kişi .
İstenen Durum (F ∩ A kümesi), F ve A’nın kesişimidir. Venn şemasında kesişim bölgesindeki sayı 25’tir.
Olasılık = 25 / 90.
Sadeleştirme (her iki tarafı 5’e böl): 5 / 18 .
Toplam Durum (U evrensel kümesi) = 90 kişi .
İstenen Durum (F ∩ A kümesi), F ve A’nın kesişimidir. Venn şemasında kesişim bölgesindeki sayı 25’tir.
Olasılık = 25 / 90.
Sadeleştirme (her iki tarafı 5’e böl): 5 / 18 .
f(x) = 2x² – 3x + 3 fonksiyonu x eksenini kaç noktada keser?
DDoğru cevap
Açıklama
Bir fonksiyonun x eksenini kestiği nokta sayısı, denklemin reel köklerinin sayısını verir. Kök sayısını bulmak için diskriminant (Delta, Δ) hesaplanır: Δ = b² – 4ac.
Denklem : a=2, b=-3, c=3.
Δ = (-3)² – 4(2)(3) = 9 – 24 = -15.
Δ < 0 olduğu için denklemin reel kökü yoktur, yani grafik x eksenini 0 noktada keser.
Denklem : a=2, b=-3, c=3.
Δ = (-3)² – 4(2)(3) = 9 – 24 = -15.
Δ < 0 olduğu için denklemin reel kökü yoktur, yani grafik x eksenini 0 noktada keser.
DDoğru cevap
Açıklama
Cevap anahtarında D olarak belirtilmiştir. PDF’te bu şekilde yer almaktadır. (Not: Dikey Çizgi Testine göre (I) Parabol ve (IV) Doğru bir fonksiyondur. (III) Çember bir fonksiyon değildir.)