Tek bir bağımlı değişkenin birden fazla bağımsız değişkene bağlı olduğu fonksiyonlardır. Örneğin, w = f(x, y, z) şeklinde ifade edilen üç değişkenli bir fonksiyonda, x, y, z bağımsız değişkenler, w ise bağımlı değişkendir. Bu tür fonksiyonlarda belirli noktalardaki değerler, bağımsız değişkenlerin yerine konularak hesaplanır. Örneğin, f(x,y) = 4x² + 8xy + 4y² fonksiyonunda f(1, -1) değeri 4(1)² + 8(1)(-1) + 4(-1)² = 4 – 8 + 4 = 0 olarak bulunur.
Ekonomide üretim ve maliyet analizlerinde çok değişkenli fonksiyonlar sıkça kullanılır. Örneğin, Q = 10 * K0.5 * L0.5 bir Cobb-Douglas tipi üretim fonksiyonudur ve çıktı miktarını (Q), sermaye (K) ve işgücü (L) girdilerine bağlar. K=400 ve L=225 için Q = 10 * √400 * √225 = 10 * 20 * 15 = 3000 birim çıktı elde edilir. Benzer şekilde, C(x,y) = 2x² + 5y + 3000 gibi bir toplam maliyet fonksiyonu, iki farklı ürünün (x ve y miktarlarında) üretim maliyetini gösterebilir. x=50, y=100 için toplam maliyet C(50, 100) = 2(50)² + 5(100) + 3000 = 5000 + 500 + 3000 = 8500 olur.
20 soru
Şıkka dokun, anında açıklamasını gör — ya da çalışma modunda tüm cevapları aç.
Soru 1
Üç değişkenli fonksiyonda kaç tane bağımsız, kaç tane bağımlı değişken bulunur?
CDoğru cevap
Açıklama
“Üç değişkenli fonksiyon” ifadesi, genellikle 3 adet bağımsız değişkeni (örneğin x, y, z) ve bunlara bağlı 1 adet bağımlı değişkeni (örneğin w) olan w = f(x, y, z) şeklindeki fonksiyonları ifade eder.
Soru 2
f(x,y) = 4x² + 8xy + 4y² iki değişkenli fonksiyon için f(1, -1) değeri kaç olur?
BDoğru cevap
Açıklama
Fonksiyonda x yerine 1 ve y yerine -1 yazılır:
f(1, -1) = 4(1)² + 8(1)(-1) + 4(-1)²
f(1, -1) = 4(1) + 8(-1) + 4(1)
f(1, -1) = 4 – 8 + 4 = 0
Soru 3
Q = 10 * K0,5 * L0,5 üretim fonksiyonu için sermaye K=400 işçilik L=225 olduğu durumda çıktı (üretim) miktarı kaç olur?
ADoğru cevap
Açıklama
K=400 ve L=225 değerleri fonksiyonda yerine konulur. 0,5 üssü, karekök demektir.
K0,5 = √400 = 20
L0,5 = √225 = 15
Q = 10 * 20 * 15 = 3000
Bir atölyede üretilen A ve B gibi iki farklı ürün için oluşan toplam maliyet fonksiyonu;
C(x,y) = 2x² + 5y + 3000
olduğuna göre A ürününden x=50, B ürününden y=100 adet üretildiği takdirde toplam maliyet ne kadar olur?
ADoğru cevap
Açıklama
Fonksiyonda x yerine 50 ve y yerine 100 yazılır:
C(50, 100) = 2(50)² + 5(100) + 3000
C(50, 100) = 2(2500) + 500 + 3000
C(50, 100) = 5000 + 500 + 3000 = 8500
Soru 6
z = f(x,y) = x² + 3xy + y² – 5x – 5y
Yukarıda verilen fonksiyon için (1, 1) noktası aşağıdakilerden hangisidir?
DDoğru cevap
Açıklama
Kritik noktayı bulmak için birinci mertebeden kısmi türevler sıfıra eşitlenir:
fx = 2x + 3y – 5 = 0
fy = 3x + 2y – 5 = 0
Bu denklem sistemi çözüldüğünde kritik nokta (1, 1) olarak bulunur.
İkinci mertebeden türev testi (Hessian) için:
fxx = 2
fyy = 2
fxy = 3
D = (fxx) * (fyy) – (fxy)² = (2) * (2) – (3)² = 4 – 9 = -5.
D < 0 olduğu için (1, 1) noktası bir eyer (semer) noktasıdır.
Soru 7
z = f(x,y) = 2x + 3y (Amaç Fonksiyonu)
Yukarıda verilen amaç fonksiyonu aşağıdaki hangi (x,y) sıralı ikilisi için maksimum olur?
DDoğru cevap
Açıklama
Verilen (x,y) noktalarını amaç fonksiyonunda yerine koyarak z’nin değerini hesaplarız:
A) (1,0) için z = 2(1) + 3(0) = 2
B) (0,0) için z = 2(0) + 3(0) = 0
C) (0,1) için z = 2(0) + 3(1) = 3
D) (1,2) için z = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8
E) (2,1) için z = 2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7
En yüksek değer 8’dir, bu da (1,2) noktasında elde edilir.
Soru 8
Aşağıda verilen dizinin limiti kaçtır?
an = (√(4n) – 3) / (√(9n) + 2)
EDoğru cevap
Açıklama
n sonsuza giderken limit alınırken, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin katsayılarına bakılır. Burada en yüksek dereceli terim √n’dir.
Paydaki √n’in katsayısı √4 = 2’dir.
Paydadaki √n’in katsayısı √9 = 3’tür.
Limit bu katsayıların oranıdır: 2/3.
Soru 9
z = f(x,y) = 10 / (x + y)
fonksiyonu aşağıdaki (x, y) sayı çiftlerinin hangisinde en büyük değeri alır?
DDoğru cevap
Açıklama
Fonksiyonun değerini (z) maksimize etmek için, paydanın (x+y) en küçük pozitif değeri alması gerekir.
A) (1,1) için x+y = 2, z = 10/2 = 5
B) (2,3) için x+y = 5, z = 10/5 = 2
C) (0,2) için x+y = 2, z = 10/2 = 5
D) (1,0) için x+y = 1, z = 10/1 = 10
E) (2,2) için x+y = 4, z = 10/4 = 2.5
En büyük değer 10’dur, bu da (1,0) noktasında elde edilir.
Soru 10
z = f(x,y) = 2x² + xy + 2y²
fonksiyonu için x’e göre birinci mertebeden kısmi türev fonksiyonu aşağıdaki şıklardan hangisinde verilmiştir?
DDoğru cevap
Açıklama
x’e göre kısmi türev (fx) alırken, y değişkeni sabit bir sayı gibi kabul edilir.
2x² teriminin x’e göre türevi 4x’tir.
xy teriminin x’e göre türevi y’dir.
2y² teriminin x’e göre türevi 0’dır (sabit olduğu için).
Toplam: fx = 4x + y + 0 = 4x + y.
Bu, ayrılabilir bir diferansiyel denklemdir.
3y’ = 6y
3(dy/dx) = 6y
dy / y = (6/3) dx
dy / y = 2 dx
Her iki tarafın integrali alınır: ∫(1/y)dy = ∫2dx
ln(y) = 2x + K (K, integral sabitidir)
y’yi yalnız bırakmak için her iki tarafın e üssü alınır:
y = e(2x + K) = e2x * eK
eK de bir sabit olduğundan ona ‘c’ denir: y = ce2x
Soru 12
z = f(x,y) = 2x³ + 3x²y² + y³ fonksiyonunun y’ye göre ikinci mertebeden kısmi türevi fyy(1,1) değeri kaçtır?
CDoğru cevap
Açıklama
Önce y’ye göre 1. kısmi türev (fy) alınır (x sabit kabul edilir):
fy = 0 + (3x²)(2y) + 3y² = 6x²y + 3y²
Şimdi bu ifadenin tekrar y’ye göre kısmi türevi (fyy) alınır:
fyy = 6x²(1) + 6y = 6x² + 6y
Şimdi (1,1) noktası yerine konur:
fyy(1,1) = 6(1)² + 6(1) = 6 + 6 = 12
Soru 13
z = f(x,y) = 5x + 4y fonksiyonunun x’e göre kısmi türevi fx(x,y) aşağıdakilerden hangisidir?
CDoğru cevap
Açıklama
x’e göre kısmi türev (fx) alırken, y değişkeni içeren terim (4y) sabit kabul edilir ve türevi 0 olur.
5x teriminin x’e göre türevi 5’tir.
fx = 5 + 0 = 5.
Seriyi ∑ (9 / 10n) olarak yazabiliriz. 9 katsayısını dışarı alırsak: 9 * ∑ (1/10)n.
Bu, ilk terimi a = 9 * (1/10) = 9/10 ve ortak oranı r = 1/10 olan bir geometrik seridir.
Toplam formülü (n=1’den başladığı için) S = a / (1-r) şeklindedir.
S = (9/10) / (1 – 1/10) = (9/10) / (9/10) = 1.
Soru 15
Aşağıda verilen serinin üçüncü kısmi toplamı kaçtır? Sn = {n²}
BDoğru cevap
Açıklama
Soruda S_n = {n²} ifadesi, serinin terimlerinin a_n = n² olduğunu belirtir. Üçüncü kısmi toplam (S3), ilk üç terimin toplamıdır (a1 + a2 + a3).
a1 = 1² = 1
a2 = 2² = 4
a3 = 3² = 9
S3 = 1 + 4 + 9 = 14.
Soru 16
(y”)² + 2y’ + y = 0
Yukarıda verilen diferansiyel denklem kaçıncı mertebe, kaçıncı derecedendir?
EDoğru cevap
Açıklama
Mertebe, denklemdeki en yüksek türevin mertebesidir (burada y” yani 2. mertebe). Derece, bu en yüksek mertebeli türevin üssüdür (burada (y”)² yani 2. derece). Bu nedenle denklem 2. mertebeden, 2. derecedendir.
Soru 17
İlk elemanı 20, ortak farkı 3 olan aritmetik dizinin ilk 11 elemanı toplamı kaçtır?
BDoğru cevap
Açıklama
Aritmetik dizi ilk n terim toplamı Sn = (n/2) * [2a1 + (n-1)d] formülü ile bulunur.
Verilenler: a1 = 20, d = 3, n = 11.
S11 = (11/2) * [2(20) + (11-1) * 3]
S11 = (11/2) * [40 + (10) * 3]
S11 = (11/2) * [40 + 30]
S11 = (11/2) * 70 = 11 * 35 = 385.
Denklemi düzenleriz:
(1/3) * (dy/dx) = x²
dy/dx = 3x²
Bu, değişkenlerine ayrılabilir bir denklemdir: dy = 3x² dx
Her iki tarafın integralini alırız: ∫dy = ∫3x² dx
y = 3 * (x³/3) + c
y = x³ + c.
Soru 19
yt+3 – 2yt+2 + 3yt+1 – yt = 0
Yukarıda verilen fark denklemi kaçıncı mertebedendir?
ADoğru cevap
Açıklama
Bir fark denkleminin mertebesi, denklemdeki en yüksek zaman indisi ile en düşük zaman indisi arasındaki farktır.
En yüksek indis: t + 3
En düşük indis: t
Mertebe = (t + 3) – t = 3. Bu, üçüncü mertebeden bir fark denklemidir.
Soru 20
İlk elemanı 25, ortak farkı 7 olan dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?
BDoğru cevap
Açıklama
Aritmetik dizinin genel terim formülü an = a1 + (n-1)d şeklindedir.
Verilenler: a1 = 25 ve d = 7.
an = 25 + (n-1) * 7
an = 25 + 7n – 7
an = 7n + 18