Final 2024-2025 20 soru

Matematik-2 2024-2025 Final

Kaynak: https://lolonolo.com/2025/10/26/matematik-2-2024-2025-final-sorulari/

📖 Konu özeti (sınav öncesi tekrar)

Matematik -2 2024-2025 Final Soruları

Çok Değişkenli Fonksiyonlar ve Değerlendirme

Fonksiyonlar, bir veya daha fazla bağımsız değişkene karşılık bir bağımlı değişkenin değerini belirleyen matematiksel ilişkilerdir. Örneğin, u = f(x,y,z) = √(x3 + y3 + z3) fonksiyonunda x, y, z bağımsız, u bağımlı değişkendir. Belirli bir noktadaki değeri bulmak için bağımsız değişkenlerin değerleri yerine konur: f(1,2,3) = √(13 + 23 + 33) = √(1+8+27) = √36 = 6. Benzer şekilde, g(x,y) = 3x + 5y + 15 fonksiyonunda 2 bağımsız değişken (x ve y) vardır.

Diziler, Seriler ve Fark Denklemleri

Diziler, belirli bir kurala göre sıralanmış sayılardır. Aritmetik dizilerde terimler arasındaki fark sabittir (ortak fark, d). yt+1 – yt = 3 denklemi, ortak farkı d=3 olan bir aritmetik diziyi tanımlar. y0 = 3 ise, y4 = y0 + 4d = 3 + 4(3) = 15’tir. Geometrik dizilerde ise terimler arasındaki oran sabittir (ortak oran, r).

Seriler, bir dizinin terimlerinin toplamıdır. Geometrik serilerin toplamı, eğer ortak oran r’nin mutlak değeri 1’den küçükse, S = a / (1-r) formülüyle bulunur ( a ilk terim, n=1’den başlıyorsa). Örneğin, ∑k=1∞ 12 * (3/10)k serisinin toplamı a = 12(3/10) = 3.6 ve r=3/10 olduğundan S = 3.6 / (1 – 0.3) = 3.6 / 0.7 = 36/7 ≈ 5.14’tür. (Not: Soru 5’teki cevap şıkkı bu sonuca uymamaktadır).

Fark denklemleri, ayrık zaman değişkenlerine bağlı fonksiyonları içerir. Denklemin mertebesi, en yüksek ve en düşük zaman indisleri arasındaki farktır. yt+3 – 2yt+2 + 3yt+1 – yt = 0 denklemi (t+3)-t=3 olduğu için üçüncü mertebedendir.

Lineer Cebir: Matrisler ve Denklem Sistemleri

Matrisler, sayıların dikdörtgen şeklinde düzenlendiği yapılardır. Matris işlemleri arasında toplama, çıkarma, skalerle çarpma ve matris çarpımı bulunur. A = [[2, 1], [5, 3]] matrisi için A2 = A * A = [[9, 5], [25, 14]] olarak hesaplanır.

Bir matrisin determinantı, kare matrislere özgü skaler bir değerdir. A = [[a, b], [c, d]] için Det(A) = ad – bc’dir. A = [[2, 3], [-1, 4]] için Det(A) = (2)(4) – (3)(-1) = 11’dir. kA matrisinin determinantı Det(kA) = kn * Det(A)’dır (n, matrisin boyutudur). Det(3A) = 32 * Det(A) = 9 * 11 = 99.

Determinantı sıfırdan farklı olan kare matrislerin tersi (inverse) bulunabilir. A = [[a, b], [c, d]] için A-1 = (1 / Det(A)) * [[d, -b], [-c, a]]. A = [[2, 5], [3, 8]] için Det(A)=1 olduğundan A-1 = [[8, -5], [-3, 2]].

Matrisin rankı, doğrusal olarak bağımsız satır veya sütun sayısını ifade eder. Rankın 1 olması, satırların (veya sütunların) birbirinin katı olduğu anlamına gelir. A = [[3, 2], [k, 1]] matrisinin rankının 1 olması için Det(A) = 3 – 2k = 0 olmalı, yani k=1.5’tur.

Lineer denklem sistemleri matris formunda ifade edilebilir (Ax=b) ve çözümleri Cramer Kuralı gibi yöntemlerle bulunabilir. Cramer Kuralı’na göre xi = Det(Ai) / Det(A). Örneğin, x’i bulmak için paydada katsayılar matrisinin determinantı (Det(A)), pay kısmında ise katsayılar matrisinde x’in katsayılarının bulunduğu sütunun sonuç vektörüyle değiştirilmesiyle elde edilen matrisin determinantı (Det(Ax)) yer alır.

3x – 2y = 1 ve 2x + y = 3 denklem sisteminin çözümü yerine koyma veya yok etme metoduyla (x,y) = (1,1) olarak bulunur.

Diferansiyel Denklemler

Türev içeren denklemlerdir. Mertebesi en yüksek türevin mertebesi, derecesi ise en yüksek mertebeli türevin üssüdür. (dy/dx) – 2x + 5 = 0 denklemi birinci mertebeden birinci derecedendir. Genel çözümü y = x2 – 5x + c’dir. y(0)=3 başlangıç koşulu ile c=3 bulunur ve özel çözüm y = x2 – 5x + 3 olur.

Ekonomik Uygulamalar

Matematik -2 2024-2025 Final Soruları

Matematik II 2024-2025 Final Soruları

Soru 1

u = f(x,y,z) = √(x³ + y³ + z³)
Yukarıda verilen fonksiyonda f(1,2,3) hangi değeri alır?

EDoğru cevap

Açıklama

Fonksiyonda x=1, y=2 ve z=3 değerleri yerine konulur:
f(1,2,3) = √(1³ + 2³ + 3³)
f(1,2,3) = √(1 + 8 + 27)
f(1,2,3) = √36 = 6.

Soru 2

dy/dx – 2x + 5 = 0 ve y(0) = 3
Yukarıda verilen bilgilere göre diferansiyel denklemin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

DDoğru cevap

Açıklama

Denklemi düzenleriz: dy/dx = 2x – 5.
Her iki tarafın integralini alırız: ∫dy = ∫(2x – 5)dx.
y = x² – 5x + c (Genel Çözüm).
Başlangıç koşulunu (y(0)=3) kullanarak c sabitini buluruz:
3 = (0)² – 5(0) + c => c = 3.
Özel Çözüm: y = x² – 5x + 3.

Soru 3

8x + 2y = 6
kx + y = 3
Yukarıda verilen denklem sisteminde, katsayılar matrisinin rankının 1 olması için k sayısı kaç olmalıdır?

ADoğru cevap

Soru 4

20000 TL anapara % 10 bileşik faiz ile 3 yıl değerlendirilirse, bu 3 yılın sonunda yatırım toplamı ne kadar olur?

BDoğru cevap

Açıklama

Bileşik faiz formülü: A = P * (1 + r)n
P (Anapara) = 20000 TL
r (Faiz Oranı) = 0.10
n (Yıl) = 3
A = 20000 * (1 + 0.10)³ = 20000 * (1.1)³
A = 20000 * 1.331 = 26620 TL.

Soru 5

∑ [k=1’den ∞’a] 12 * (3/10)k
Yukarıda verilen serinin toplamı kaçtır?

ADoğru cevap

Açıklama

(Not: Sorudaki parantez (3/10)^k olarak yazılmıştır, bu S=36/7 \approx 5.14 sonucunu verir. Cevap şıkkı A=4 olduğuna göre, ifadenin 12 \cdot (3/10^k) olması muhtemeldir.)
Varsayım: Seri S = ∑ [k=1’den ∞’a] 12 \cdot (3 / 10^k) = 36 \cdot ∑ (1/10)^k.
Bu, a = (1/10)^1 = 1/10 ve r = 1/10 olan geometrik bir seridir.
İç toplam S_{iç} = a / (1 – r) = (1/10) / (1 – 1/10) = (1/10) / (9/10) = 1/9.
Toplam Seri: S = 36
36 * (1/9) = 4.

Soru 6

3x – 2y = 1
2x + y = 3
Yukarıda verilen denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmektedir?

DDoğru cevap

Açıklama

İkinci denklemden y = 3 – 2x bulunur. Bu ifade birinci denklemde yerine konulur:
3x – 2(3 – 2x) = 1
3x – 6 + 4x = 1
7x = 7 => x = 1.
x = 1 değerini y = 3 – 2x denkleminde yerine koyarsak: y = 3 – 2(1) = 1.
Çözüm (x,y) = (1,1)’dir.

Soru 8

Yukarıda verilen grafikte gri alan bir doğrusal programlama probleminin uygun çözüm bölgesini gösterdiğine göre, Z = 3x + 4y amaç fonksiyonu B noktası için hangi değeri alır?

DDoğru cevap

Soru 9

[[2, 5], [2, 1]] * [[x], [y]] = [[11], [7]]
x’i bulabilmek için aşağıdaki hangi işlem yapılmalıdır? (Not: |…| determinantı simgeler)

EDoğru cevap

Açıklama

Cramer kuralına göre, x = Det(A_x) / Det(A).
A (Katsayılar matrisi) = [[2, 5], [2, 1]]. Determinantı: |[2, 5], [2, 1]|.
Ax (A matrisinde x sütununun (ilk sütun) sonuç matrisi [[11], [7]] ile değiştirilmiş hali) = [[11, 5], [7, 1]]. Determinantı: |[11, 5], [7, 1]|.
Bu nedenle, x = Det(A_x) / Det(A).

Soru 10

Yukarıda girdi çıktı oranları ve iki farklı sektöre ilişkin verilen toplam taleplere göre, birinci sektörde çıktı üretebilmek için birinci sektörden kullanılan miktar parasal tutar olarak ne kadardır?

CDoğru cevap

Açıklama

Soru, Sektör 1’in kendi toplam üretimi (x_1) için Sektör 1’den ne kadar girdi (a_{11}) kullandığını sormaktadır. Bu a_{11} \cdot x_1 ile bulunur.
Girdi-Çıktı matrisinden a_{11} (1. satır, 1. sütun) = 0.3.
Toplam Talep vektöründen x_1 = 1000.
Kullanılan Miktar = 0.3 * 1000 = 300.

Soru 11

Yukarıda verilen girdi çıktı tablosuna göre A sektörüne olan toplam talep (XA) ne kadardır?

EDoğru cevap

Açıklama

Bir sektörün Toplam Talebi (Toplam Çıktısı), o sektörün sattığı tüm ara girdilerin (diğer sektörlere) ve bağımsız (nihai) talebin toplamıdır.
A Sektörünün Toplam Talebi (A satırı boyunca) = (A’nın A’ya Girdisi) + (A’nın B’ye Girdisi) + (A’nın Bağımsız Talebi)
XA = 560 + 200 + 640 = 1400.

Soru 12

yt+1 – yt = 3 ve y0 = 3 ise, y4 aşağıdakilerden hangisidir?

ADoğru cevap

Açıklama

(Not: Sorunun metninde y_0=3 verilmiştir. Bu y_4 = y_0 + 4 \cdot d = 3 + 4(3) = 15 sonucunu verir. Şıklarda 15 yoktur. A şıkkına ulaşmak için y_0=2 olduğu varsayılmalıdır.)
Varsayım: y_0 = 2 ve ortak fark d = 3.
y1 = 2 + 3 = 5
y2 = 5 + 3 = 8
y3 = 8 + 3 = 11
y4 = 11 + 3 = 14.

Soru 13

Yukarıda verilen girdi çıktı tablosuna göre a22 değeri kaç olur?

DDoğru cevap

Açıklama

a_{22} katsayısı = (B Sektörünün B Sektöründen Girdisi) / (B Sektörünün Toplam Çıktısı).
Tablodan B’nin B’den Girdisi = 400.
B’nin Toplam Çıktısı (X_B) (B satırı boyunca) = 280 (B->A) + 400 (B->B) + 320 (Bağımsız) = 1000.
a_{22} = 400 / 1000 = 0.4.

Soru 14

g(x,y) = 3x + 5y + 15
Yukarıdaki fonksiyonda kaç bağımsız değişken bulunmaktadır?

CDoğru cevap

Açıklama

Fonksiyon g(x,y) olarak tanımlanmıştır. g bağımlı değişken, x ve y ise bağımsız değişkenlerdir. Dolayısıyla 2 adet bağımsız değişken vardır.

Soru 15

Maks z = 3×1 + 4×2
Kısıtlar:
4×1 + 2×2 ≤ 80
2×1 + 5×2 ≤ 180
x1, x2 ≥ 0
Yukarıda verilen maksimizasyon doğrusal programlama modelinde üretilen iki ürüne ait birim kârlar sırasıyla kaçtır?

EDoğru cevap

Açıklama

Amaç fonksiyonu (Maks z), toplam kârı maksimize etmeyi amaçlar. z = 3x_1 + 4x_2 denkleminde, x_1’in katsayısı (3) birinci ürünün birim kârını, x_2’nin katsayısı (4) ise ikinci ürünün birim kârını gösterir.

Soru 16

A = [[2, 1], [5, 3]]
Yukarıda A matrisi verildiğine göre A² aşağıdakilerden hangisidir?

ADoğru cevap

Açıklama

A² = A * A = [[2, 1], [5, 3]] * [[2, 1], [5, 3]]
C11 (1. satır, 1. sütun) = (2*2) + (1*5) = 4 + 5 = 9
C12 (1. satır, 2. sütun) = (2*1) + (1*3) = 2 + 3 = 5
C21 (2. satır, 1. sütun) = (5*2) + (3*5) = 10 + 15 = 25
C22 (2. satır, 2. sütun) = (5*1) + (3*3) = 5 + 9 = 14
Sonuç matrisi: [[9, 5], [25, 14]].

Soru 17

Yukarıda verilen grafikte koyu boyalı OABC bölgesi doğrusal programlamada hangi isimle adlandırılır?

CDoğru cevap

Açıklama

Doğrusal programlama problemlerinde, tüm kısıtların (eşitsizliklerin) aynı anda sağlandığı bölgeye “Uygun Çözüm Bölgesi” (Feasible Region) denir. Grafikteki OABC alanı bu bölgeyi temsil eder.

Soru 18

İşçi Sayısı	Toplam Üretim
1	12
2	22
3	30
4	31
5	20

Yukarıdaki tabloda işçi sayısına göre yapılan toplam üretim bilgileri görülmektedir. Buna göre işçi sayısı 3’ten 4’e çıkarıldığında marjinal emek verimliliği kaç olur?

CDoğru cevap

Açıklama

Marjinal emek verimliliği, emeği (işçi sayısını) bir birim artırdığımızda toplam üretimdeki değişikliktir.
İşçi sayısı 3 iken Toplam Üretim = 30.
İşçi sayısı 4 iken Toplam Üretim = 31.
Marjinal Verimlilik = (Üretim Değişimi) / (İşçi Değişimi) = (31 – 30) / (4 – 3) = 1 / 1 = 1.

Soru 19

A = [[2, 3], [-1, 4]]
Yukarıda A matrisi verilmiştir. Buna göre 3A matrisinin determinantı kaçtır?

BDoğru cevap

Açıklama

Yöntem 1: Önce Det(A) bulunur. Det(A) = (2 * 4) – (3 * -1) = 8 + 3 = 11. Matris 2×2 (n=2) olduğu için, Det(kA) = k^n \cdot Det(A) kuralı uygulanır.
Det(3A) = 3² * Det(A) = 9 * 11 = 99.
Yöntem 2: 3A matrisi bulunur: 3A = [[6, 9], [-3, 12]]. Bu matrisin determinantı: (6 * 12) – (9 * -3) = 72 + 27 = 99.

Soru 20

A = [[2, 5], [3, 8]]
Yukarıda verilen A matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?

BDoğru cevap

Açıklama

2×2 matris A = [[a, b], [c, d]] için ters formülü: A⁻¹ = (1 / Det(A)) * [[d, -b], [-c, a]].
Det(A) = (2 * 8) – (5 * 3) = 16 – 15 = 1.
A⁻¹ = (1 / 1) * [[8, -5], [-3, 2]]
A⁻¹ = [[8, -5], [-3, 2]].

Soru 21

qA = 500 – 3qA + 2pB
qB = 500 + qA – 4qB
Yukarıda A ve B gibi iki ürüne ilişkin talep fonksiyonları verilmektedir. Buna göre bu iki ürün hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

BDoğru cevap

Açıklama

İki ürünün ilişkisi, birinin fiyatının (p) diğerinin talebi (q) üzerindeki etkisine bakılarak anlaşılır.
1. Denklem (qA): p_B’nin (B fiyatı) katsayısı pozitif (+2). B’nin fiyatı artarsa, A’nın talebi (qA) artar.
2. Denklem (qB): p_A’nın (A fiyatı) katsayısı pozitif (+1). A’nın fiyatı artarsa, B’nin talebi (qB) artar.
Bir ürünün fiyatı yükseldiğinde diğeri ona alternatif olarak daha fazla talep görüyorsa, bu iki ürün ikame (rakip) ürünlerdir.