Final 2023-2024 20 soru

Programcılar için Matematik 2023-2024 Final

Kaynak: https://lolonolo.com/2025/12/21/programcilar-icin-matematik-2023-2024-final-sorulari/

📖 Konu özeti (sınav öncesi tekrar)

Programcılar İçin Matematik 2023-2024 Final Soruları

Giriş

Bilgisayar bilimlerinde algoritmaların analizi, veri yapıları ve makine öğrenmesi gibi alanlar güçlü bir matematiksel altyapı gerektirir. Bu ders kapsamında matrisler, olasılık, türev, fonksiyonlar ve bağıntılar gibi temel konular ele alınmıştır. Aşağıda final sınavında öne çıkan soruların çözümleri ve teorik açıklamaları özetlenmiştir.

1. Lineer Cebir: Matrisler ve Vektörler

2. Analiz: Fonksiyonlar ve Türev

3. Olasılık ve İstatistik

4. Ayrık Matematik: Bağıntılar ve Kümeler

Programcılar İçin Matematik Final Soruları 2024

Soru 1

Bir çift hilesiz zar havaya atılıyor. En az bir zarın 5 gelmesi olayının eleman sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

BDoğru cevap

Açıklama

İki zar atıldığında toplam 36 durum vardır. Hiç 5 gelmeme durumu (5 dışındaki 5 rakamın gelmesi) $5 \times 5 = 25$ ‘tir. Tüm durumlardan hiç 5 gelmeme durumunu çıkarırsak:

bulunur.

Soru 2

$A=\begin{bmatrix}2&3&-4\\ 0&-4&2\\ 1&-1&5\end{bmatrix}$ matrisinin $a_{32}$ girdisinin kofaktörü aşağıdakilerden hangisidir?

EDoğru cevap

Açıklama

$a_{32}$ elemanı 3. satır 2. sütundadır. Kofaktör işareti $(-1)^{3+2} = -1$ ‘dir. Minor matrisi (3. satır ve 2. sütun kapatıldığında): $\begin{vmatrix}2&-4\\ 0&2\end{vmatrix} = (2)(2) - (0)(-4) = 4$ . Kofaktör: $-1 \times 4 = -4$ .

Soru 3

$A=\begin{bmatrix}2&2&-1&6&4\\ 4&4&1&10&13\\ 8&8&-1&26&23\end{bmatrix}$ matrisinin rankı (

) aşağıdakilerden hangisidir?

DDoğru cevap

Açıklama

Satır işlemleri yapıldığında, satırların lineer bağımsız olduğu görülür ve matrisin rankı 3 olarak bulunur.

Soru 4

x, y, z ve t birbirlerinden farklı elemanlar olmak üzere $A=\{x,y,z,t\}$ kümesi üzerinde tanımlanan bir $R=\{(x,z), (t,y), (y,t), (y,z), (z,x)\}$ bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

DDoğru cevap

Açıklama

Simetrik olması için her $(a,b) \in R$ için $(b,a) \in R$ olmalıdır. Bağıntıda

var ancak

yoktur. Bu yüzden simetrik değildir.

Soru 5

$A=\begin{bmatrix}-1&2&3\\ 4&4&4\\ 0&6&5\end{bmatrix}$ matrisinin transpozesi $A^{T}=[a_{ij}]$ olmak üzere $a_{33}$ girdisi aşağıdakilerden hangisidir?

CDoğru cevap

Açıklama

Cevap anahtarı C (0) olarak verilmiştir. Ancak matrisin transpozu alındığında $A^T_{33}$ elemanı normalde 5’tir (orijinal matrisin 3. satır 3. sütunu). Cevap anahtarının 0 olması, sorunun muhtemelen transpozun $a_{13}$ elemanını (orijinal matrisin $a_{31}$ elemanı olan 0) sormayı amaçladığını düşündürmektedir. Resmi cevap anahtarına göre cevap C’dir.

Soru 6

$f(x)=\frac{2}{x^{3}}+5x^{2/3}$ fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

ADoğru cevap

Açıklama

$f(x) = 2x^{-3} + 5x^{2/3}$ olarak yazılır. Türev: $2(-3)x^{-4} + 5(\frac{2}{3})x^{-1/3} = -6x^{-4} + \frac{10}{3}x^{-1/3}$ .

Soru 7

$\mathbb{R}^{3}$ üzerinde

eşitliğini sağlayan x, y, z reel sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

DDoğru cevap

Açıklama

$y+1=4 \Rightarrow y=3$ . $x=2x+y \Rightarrow x=2x+3 \Rightarrow x=-3$ . $y+z=3z \Rightarrow 3+z=3z \Rightarrow 2z=3 \Rightarrow z=3/2$ .

Soru 8

$A=\begin{bmatrix}2&3&-1\\ 4&-2&5\end{bmatrix}$ ve $B=\begin{bmatrix}2&-1&0&6\\ 1&3&-5&1\\ 4&1&-2&2\end{bmatrix}$ matrisleri için BA çarpım matrisi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

CDoğru cevap

Açıklama

B matrisi $3 \times 4$ , A matrisi $2 \times 3$ boyutundadır. BA çarpımı için B’nin sütun sayısı (4) ile A’nın satır sayısının (2) eşit olması gerekir. $4 \neq 2$ olduğu için çarpım tanımlı değildir.

Soru 9

p: “Mars bir gezegendir” ve q: “Türkiye bir ada değildir.” iki önerme olmak üzere $p\Rightarrow q^{\prime}$ önermesinin ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

BDoğru cevap

Açıklama

q önermesinin değili (

) “Türkiye bir adadır” olur. $p \Rightarrow q'$ ifadesi “Mars bir gezegen ise Türkiye bir adadır” şeklinde okunur.

Soru 10

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{4^{x}-1}{8^{x}-1}$ limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

ADoğru cevap

Açıklama

Belirsizlik durumunda L’Hopital kuralı uygulanır: $\frac{4^x \ln 4}{8^x \ln 8}$ . x=0 için $\frac{\ln 4}{\ln 8} = \frac{\ln 2^2}{\ln 2^3} = \frac{2 \ln 2}{3 \ln 2} = \frac{2}{3}$ .

Soru 11

Dağılımı

değerleri için 2, 3, 11 ve olasılıkları

sırasıyla

gibi olan bir X rastgele değişkeninin beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

EDoğru cevap

Açıklama

Beklenen değer $E[X] = \sum x_i \cdot p_i = 2(1/3) + 3(1/2) + 11(1/6) = 4/6 + 9/6 + 11/6 = 24/6 = 4$ .

Soru 12

$2x_{1}-6x_{2}+7x_{3}=1$ , $4x_{2}+3x_{3}=8$ , $2x_{3}=4$ lineer denklem sisteminin serbest değişkenleri aşağıdakilerden hangisidir?

CDoğru cevap

Açıklama

Üçgen matris formunda olan bu sistemde her değişkene karşılık gelen bir pivot (katsayı) bulunduğu için serbest değişken yoktur, tek çözüm vardır.

Soru 13

$\mathbb{R}^{5}$ ‘in

vektörleri için $u \cdot v$ iç çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

DDoğru cevap

Açıklama

$(4\times2) + (2\times6) + (3\times1) + (5\times-4) + (-1\times8) = 8 + 12 + 3 - 20 - 8 = -5$ .

Soru 14

x, y, z, t reel sayılar olmak üzere $A=\begin{bmatrix}x&y\\ z&t\end{bmatrix}$ matrisinin klasik eşleniği (ek matrisi/adjoint) aşağıdakilerden hangisidir?

ADoğru cevap

Açıklama

2×2 matrisin ek matrisi bulunurken, ana köşegen elemanları yer değiştirir (x ve t), yedek köşegen elemanları işaret değiştirir (y ve z).

Soru 15

İki çocuğa sahip bir çiftin büyük çocuğu erkek ise her iki çocuğun da erkek olma olasılığı hangisidir?

BDoğru cevap

Açıklama

Örnek uzay (Büyük, Küçük): {EE, EK}. Büyük çocuğun erkek olduğu bilindiğine göre olası durumlar bunlardır. İkisinin de erkek olduğu durum sadece {EE}’dir. Olasılık

Soru 16

A, Bilgisayar Programlama bölümündeki öğrencilerin kümesi ve B, Bilgisayar Programlama bölümündeki gözlük takan öğrencilerin kümesi olmak üzere $A\cap B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

ADoğru cevap

Açıklama

B kümesi A kümesinin alt kümesidir. Kesişimleri alt küme olan B’ye eşittir.

Soru 17

$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$ fonksiyonunun türevinin

noktasındaki değeri aşağıdakilerden hangisidir?

EDoğru cevap

Açıklama

$f(x) = x^{-1} - x^{-1/2}$ . Türev: $-x^{-2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}$ . x=1 için:

Soru 18

Doğal sayılar kümesinden reel sayılar kümesine tanımlı bir f fonksiyonu n tek bir doğal sayı ise

değerini, n çift bir doğal sayı ise

değerini alsın. f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

CDoğru cevap

Açıklama

Fonksiyon tam sayıları üretir ancak Reel sayılar kümesini (örneğin 1/2, $\sqrt{2}$ gibi sayıları) örtmez, bu yüzden üzerine değildir. Her n değeri farklı bir sonuç ürettiği için birebirdir.

Soru 19

$\begin{bmatrix}1&2&2&3\\ 1&0&-2&0\\ 3&-1&1&-2\\ 4&-3&0&2\end{bmatrix}$ matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir?

EDoğru cevap

Açıklama

Matrisin determinantı hesaplandığında sonuç -131 bulunur.

Soru 20

$2|3x-1|\le7$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

BDoğru cevap

Açıklama

$|3x-1| \le 3.5 \Rightarrow -3.5 \le 3x-1 \le 3.5 \Rightarrow -2.5 \le 3x \le 4.5 \Rightarrow -5/6 \le x \le 3/2$ .