Programcılar için Matematik 2024 Ara Sınav (Vize)

Fonksiyonda x yerine sırasıyla 2, -3 ve 7 değerleri konulur: f(2) = (2-2)/5 = 0. f(-3) = (-3-2)/5 = -1. f(7) = (7-2)/5 = 1. Bulunan değerler işlemde yerine yazıldığında sonuç: 0 + (-1) - 1 = -2 olur.

A ve B kümelerinin kesişimi (A ∩ B), her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur. Ortak elemanlar 'a' dir. A kümesindeki '{b,c}' tek bir eleman olarak kabul edilirken, B kümesinde 'b' ve 'c' ayrı elemanlardır, bu yüzden ortak değildirler. Kesişim kümesi {a} olup eleman sayısı 1’tür.

Verilen koşullara göre mutlak değerlerin içlerinin işareti belirlenir. a-b (negatif – pozitif) negatiftir, |a-b| = -(a-b) = b-a. c-a (pozitif – negatif) pozitiftir, |c-a| = c-a. b+c (pozitif + pozitif) pozitiftir, |b+c| = b+c. İfade şu hale gelir: (b-a) + (c-a) - (b+c) = b - a + c - a - b - c = -2a.

x² ≤ 16 koşulunu sağlayan tamsayılar -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4‘tür. Bu sayılar arasından hem negatif hem de çift olanlar -4 ve -2‘dir. Dolayısıyla A kümesi {-4, -2}‘dir.

p: En küçük negatif tek sayı -1 dir.
Bu önerme yanlıştır. Negatif tek sayılar kümesi {... -7, -5, -3, -1} şeklinde sonsuza kadar devam eder. Sayı doğrusunda sola gidildikçe sayılar küçüldüğü için “en küçük negatif tek sayı” diye bir kavram yoktur. Dolayısıyla p önermesinin doğruluk değeri 0‘dır.
q: Kedilerin 4 ayağı vardır.
Bu önerme genel bir doğruyu ifade ettiği için doğrudur. Kediler biyolojik olarak dört ayaklıdır. Dolayısıyla q önermesinin doğruluk değeri 1‘dir.
r: 2 sayısının karesinin 2 katı 8 dir.
Bu önermeyi matematiksel olarak ifade edelim:
2’nin karesi: 2² = 4
Bu sonucun 2 katı: 4 * 2 = 8
Sonuç 8 olduğu için bu önerme doğrudur. Dolayısıyla r önermesinin doğruluk değeri 1‘dir.

Bu ifade yanlıştır çünkü örneğin 1/2 bir rasyonel sayıdır ancak bir tam sayı değildir. Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesini kapsar; tersi doğru değildir.

Eşitliğin sol tarafı: (g∘f)(-a) = g(f(-a)). Önce f(-a) = -a-2 bulunur. Sonra g(-a-2) = 3(-a-2)-a = -3a-6-a = -4a-6. Eşitliğin sağ tarafı: f(a) = a-2 ve g(4) = 3(4)-a = 12-a. Toplamları: (a-2) + (12-a) = 10. Denklem: -4a-6 = 10 ⇒ -4a = 16 ⇒ a = -4.

Bağıntı, elemanları sıralı ikililerden oluşan ve bir kartezyen çarpım kümesinin alt kümesi olan özel bir kümedir. Ancak herhangi bir kümenin elemanları sıralı ikili olmak zorunda değildir. Örneğin, A={1,2,3} kümesi bir bağıntı değildir. Bu nedenle “Her küme bir bağıntıdır.” ifadesi yanlıştır.

Limiti alınan ifade bir polinom fonksiyondur. Polinom fonksiyonlarda bir noktadaki limit, fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir. Bu nedenle x yerine -3 yazılarak sonuç hesaplanır: (-3)² + 1 = 9 + 1 = 10.

Önerme, doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olarak bilinen bir yargı cümlesidir. “5 çift sayıdır.” ifadesi yanlış bir yargı belirttiği için bir önermedir. Diğer şıklar emir, istek veya soru cümlesi olduklarından önerme değildirler.

Geçişme özelliği, bir bağıntıda (a,b) ve (b,c) elemanları varken (a,c) elemanının da bulunmasını gerektirir. A şıkkında, (x,y) ve (y,z) elemanları için gereken (x,z) elemanı da kümede mevcuttur. Diğer şıklarda bu kural bir veya daha fazla eleman çifti için bozulmaktadır.

Bir küme oluşturulurken aynı eleman birden fazla kez yazılamaz. “EVRENSEL” kelimesindeki birbirinden farklı harfler E, V, R, N, S, L‘dir. Bu nedenle küme {E, V, R, N, S, L} olup eleman sayısı 6‘dır.

“Ali sarı saçlı değilse” ifadesi q önermesinin değili olan q' ile temsil edilir. “kısa boyludur” ifadesi p önermesi ile temsil edilir. “ise” bağlacı ise “⇒” sembolü ile gösterilir. Bu durumda cümlenin sembolik karşılığı q' ⇒ p olur.

x=2 noktası mutlak değerin kritik noktası olduğu için sağdan ve soldan limit incelenmelidir. Sağdan limit (x→2+): (x-2)/(x-2) - x + 2 = 1-x+2 → 1-2+2=1. Soldan limit (x→2-): -(x-2)/(x-2) - x + 2 = -1-x+2 → -1-2+2=-1. Sağ ve sol limitler (1 ve -1) birbirinden farklı olduğu için bu noktada limit yoktur.

Verilen limitlerden iki denklem elde edilir: (1) a - 2b = 2 ve (2) 2a - b = 3. İkinci denklem -2 ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa: (a-2b) + (-4a+2b) = 2 - 6 ⇒ -3a = -4 ⇒ a=4/3. Bu değer birinci denklemde yerine konursa: 4/3 - 2b = 2 ⇒ -2b = 2 - 4/3 ⇒ -2b = 2/3 ⇒ b = -1/3.

Mutlak değer fonksiyonu f(x)=|x|, içine giren herhangi bir reel sayı değerini negatif olmayan bir reel sayıya dönüştürür. Sonuç daima 0 veya pozitif bir reel sayıdır. Bu küme [0, ∞) aralığıdır. Şıklar arasında bu kümeyi en iyi tanımlayan ifade “Pozitif reel sayılar”dır (0‘ı da kapsayacak şekilde düşünülmüştür).

f(2) değerini bulmak için fonksiyonda x+1=2 olmalıdır, bu da x=1 demektir. Fonksiyonda x gördüğümüz her yere 1 yazarız: f(1+1) = (1)² + k(1) + 3 ⇒ f(2) = 1 + k + 3 = k+4. Soruda f(2)=5 verildiği için k+4=5 denklemi kurulur ve buradan k=1 bulunur.

Değer kümesi, bağıntıdaki y‘nin alabileceği değerlerdir. x ve y doğal sayı olmalıdır. Sınav bağlamında doğal sayılar kümesi N={1, 2, 3, ...} olarak kabul edilirse; y=6-2x denkleminde x‘e değerler verilir: x=1 için y=4. x=2 için y=2. x=3 için y=0 (bu tanıma göre N‘de değil). Dolayısıyla y‘nin alabildiği değerler kümesi {2, 4}‘tür.

İrrasyonel sayı, iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayıdır. √5 irrasyonel bir sayıdır. Bir irrasyonel sayının sıfır olmayan bir rasyonel sayıya bölümü de irrasyoneldir. Diğer şıklar (2=2/1, -5=-5/1, 0.1=1/10) rasyonel sayılardır.